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2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.1椭圆及其标准方程训练案北师大版选修2_1

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3.1.1 椭圆及其标准方程

[A.基础达标]

1.设

α

∈???0,π2

???,方程sinx2 α

y2 +cos α

=1

是表示焦点在

y

轴上的椭圆,则

α

的取

值范围是( )

A.???0,π4 ???

B.???π4 ,π2 ???

C.???0,π4 ???

D.???π4 ,π2 ???

解析:选 C.由题意可得:0<sin α <cos α ,又因为 α ∈???0,π2 ???,所以 α ∈???0,π4 ???. 2.已知椭圆x42+y2=1 的焦点为 F1,F2,点 M 在该椭圆上,且M→F1·M→F2=0,则点 M 到 x

轴的距离为( )

A.2 3 3

B.2 3 6

C.

3 3

D. 3

解析:选 C.因为M→F1·M→F2=0,所以M→F1⊥M→F2,故|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2=4c2=12,① |MF1|+|MF2|=2a=4,②, 由①②得|MF1|·|MF2|=2.

故点

M



x

轴的距离为|MF|1|F·1F|2|MF2|=2

2

= 3

33.

3.已知周长为 16 的△ABC 的两顶点与椭圆 M 的两个焦点重合,另一个顶点恰好在椭圆

M 上,则下列椭圆中符合椭圆 M 条件的是( )

x2 y2 A.25+16=1

x2 y2 B.25+ 9 =1

x2 y2 C.16+ 9 =1

x2 y2 D. 9 + 4 =1

解析:选 A.不妨设 B、C 分别为椭圆 M 的两个焦点,点 A 在椭圆上,故|AB|+|AC|=2a,

|BC|=2c,|AB|+|AC|+|BC|=2a+2c=16,即 a+c=8.对于 A:a+c=8,满足要求;对

于 B:a+c=5+4=9,排除 B.对于 C:a+c=4+ 7,排除 C;对于 D:a+c=3+ 5,排 除 D.故选 A.

4.与椭圆 9x2+4y2=36 有相同焦点,且 b=2 5的椭圆方程是( )

x2 y2 A.25+20=1

x2 y2 B.80+85=1

x2 y2 C.20+45=1

x2 y2 D.20+25=1

解析:选 D.9x2+4y2=36 的焦点坐标为(0,± 5).对于 A:焦点坐标为(± 5,0),b

=2 5,排除 A;对于 B:焦点坐标为(0,± 5),b=4 5,排除 B;对于 C:焦点坐标为(0,

±5),b=2 5,排除 C.选项 D 符合要求.

x2 y2 5.如图,椭圆25+ 9 =1

上的点

M

到焦点

F1

的距离为

2,N



MF1

的中点,则|ON|(O

为坐

标原点)的值为( )

1

A.8

B.2

C.4

D.32

解析:选 C.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=10,又|MF1|=2,所以|MF2|=8,由于 N

为 MF1 的中点,所以 ON 为△F1MF2 的中位线,所以|ON|=12|MF2|=4.

6.已知两定点 F1(-1,0),F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P

的轨迹方程是________.

解析:由题意得:|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|=2, 所以动点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆,且 a=2,c=1, 所以 b2=a2-c2=3,轨迹方程为x42+y32=1.

x2 y2 答案: 4 + 3 =1

7.已知椭圆x52+y2=1 的焦点为 F1,F2,设 P(x0,y0)为椭圆上一点,当∠F1PF2 为直角时,

点 P 的横坐标 x0=________. 解析:由椭圆的方程为x52+y2=1,

得 c=2,

所以 F1(-2,0),F2(2,0),P→F1=(-2-x0,-y0),

P→F2=(2-x0,-y0). 因为∠F1PF2 为直角,

所以P→F1·P→F2=0, 即 x20+y20=4,① 又x520+y20=1,②

①②联立消去 y20得 x20=145,

所以 x0=± 215.

答案:±

15 2

8.已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一动点,如果延长 F1P

到 Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点 Q 的轨迹是________. 解析:如图,依题意:|PF1|+|PF2|=2a(a>0 是常数). 又因为|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a, 即|QF1|=2a.所以动点 Q 的轨迹是以 F1 为圆心,2a 为半径的圆.

2

答案:以 F1 为圆心,2a 为半径的圆 9.在△ABC 中, ∠A,∠B,∠C 所对的三边分别是 a,b,c,且|BC|=2,求满足 b,a, c 成等差数列且 c>a>b 的顶点 A 的轨迹. 解:由已知条件可得 b+c=2a,则|AC|+|AB|=2|BC|=4>|BC|, 结合椭圆的定义知点 A 在以 B,C 为焦点的一个椭圆上,且椭圆的焦距

为 2. 以 BC 所在的直线为 x 轴,BC 的中点为原点 O,建立*面直角坐标
系,如图所示. 设顶点 A 所在的椭圆方程为xm22+yn22=1(m>n>0),则 m=2,n2=22
-12=3,从而椭圆方程为x42+y32=1.又 c>a>b 且 A 是△ABC 的顶点,结合图形,易知 x>0,y

≠0.

故顶点

A

x2 y2 的轨迹是椭圆 4 + 3 =1

的右半部分除去与

x

轴,y

轴的交点.

10.设

F1,F2

x2 y2 为椭圆 9 + 4 =1

的两个焦点,P

为椭圆上的一点,

(1)若 PF1⊥PF2,且|PF1|>|PF2|,求||PPFF12||的值.
(2)当∠F1PF2 为钝角时,求|PF2|的取值范围. 解:(1)因为 PF1⊥PF2,所以∠F1PF2 为直角, 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2. 所以?????2|P0F=1||+PF|1|P2F+2||=P6F,2|2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以||PPFF12||=2.
(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 r1+r2=6. 因为∠F1PF2 为钝角,所以 cos∠F1PF2<0. 又因为 cos∠F1PF2=r21+2rr122r-2 20<0,所以 r21+r22<20,所以 r1r2>8,所以(6-r2)r2>8,
所以 2<r2<4. 即|PF2|的取值范围是(2,4).
[B.能力提升] 1.已知点 P 是椭圆1x62 +y82=1(x≠0,y≠0)上的动点,F1,F2 是椭圆的两个焦点,O 是

坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的角*分线上一点,且F→1M·M→P=0,则|OM|的取值范围是( )

A.[0,3)

B.(0,2 2)

C.[2 2,3)

D.[0,4]

解析:选 B.延长 F1M 交 PF2 的延长线于点 N,

可得|OM|=12|F2N|=12(|PN|-|PF2|)

=12(2a-2|PF2|)=a-|PF2|.

设点 P 的坐标为(x0,y0),

3

则1x620 +y820=1.

|PF2|= (x0-2 2)2+y20= 22|x0-4 2|

=4- 22x0,

故|OM|=a-|PF2|=4-(4- 22x0)= 22x0. 由题意知 x0∈(-4,0)∪(0,4). 又因为|OM|>0,

所以|OM|∈(0,2 2). 2.已知椭圆 C:x22+y2=1 的焦点 F(1,0),直线 l:x=2,点 A∈l,线段 AF 交 C 于点

B,若F→A=3F→B,则|A→F|=( )

A. 3

B.2

C. 2

D.3

解析:选 C.如图所示,设 l 与 x 轴交于点 A1,过 B 点作 x 轴的垂线 BB1,交 x 轴于点 B1,

设|→AF|=t,

则|→FB|=t3,

得:|A→A1|=

t2-1,|B→B1|=

t2-1 3,

|F→B1|=13,故 B???43, t32-1???, 代入椭圆方程得:???432???2+t2-9 1=1,

得:t= 2.

3.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则椭圆 C 的方程为________.

x2 y2 解析:设椭圆的标准方程为a2+b2=1.

????? 由题意可得

a2-b2=1, a12+b942=1,得?????ab22= =43, ,

x2 y2 故椭圆 C 的方程为 4 + 3 =1.

x2 y2 答案: 4 + 3 =1

4.已知△ABC

的顶点

A(-2,0)和

B(2,0),顶点

C

x2 y2 在椭圆16+12=1

上,则sin

A+sin sin C

B

=________.

解析:设∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a1,b1,c1,

a=4,b=2 3,c= a2-b2=2.

a1+b1=2a=8,c1=2c=4,

4

由 sin A=2aR1 ,sin B=2bR1 ,sin C=2cR1 得

sin A+sin sin C

B=a1+c1 b1=84=2.

答案:2

5.已知 F1,F2 为椭圆 C:xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过 F2 作垂直

于 x 轴的直线 MF2 交椭圆于 M,设|MF2|=d.
(1)证明:d,b,a 成等比数列;
(2)若 M 的坐标为( 2,1),求椭圆 C 的方程.

解:(1)证明:由条件知 M 点的坐标为(c,y0),其中|y0|=d,

c2 d2 所以a2+b2=1,d=b·

c2 b2 1-a2= a ,

db 所以b=a,即

d,b,a

成等比数列.

(2)由条件知 c= 2,d=1,所以?????ba22= =ab·2+12,,所以???ab==2,2,

所以椭圆

C

x2 y2 的方程为 4 + 2 =1.

6.(选做题)(1)设过点 P(x,y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B

两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,O 为坐标原点,若B→P=2→PA,且O→Q·A→B=1,求 P 点的轨迹

方程.

(2)已知圆 M:(x+1)2+y2=1,圆 N:(x-1)2+y2=9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N

内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C.求 C 的方程.

解:(1)由题意 Q 坐标为(-x,y)(x>0,y>0),设 A(x0,0),B(0,y0),
由B→P=2→PA得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),
所以?????xy= -2yx0=0--2x2, y,即?????xy00= =323xy., 由O→Q·A→B=1 得(-x,y)·(-x0,y0)=1, 所以 x0x+y0y=1,把?????yx00= =323xy,代入上式得32x2+3y2=1(x>0,y>0). (2)由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0),半径 r1=1;圆 N 的圆心为 N(1,0),半径 r2= 3.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,

所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|=2. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左,右焦点的椭圆(与 x 轴的左交点除外),又

a=2,c=1,得 b2=3,故其方程为x42+y32=1(x≠-2).

5




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